柯尼斯(小学数学 数学故事 如今的柯尼斯堡桥问题)

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如今的柯尼斯堡桥问题柯尼斯堡城是条顿骑士在 1308 年建立的，作为日尔曼势力最东端的前哨达四百余年之 久。第二次世界大战后，它被更名为加里宁格勒，成了苏联最大的海军基地。今天，柯尼斯 堡位于立陶宛与波兰之间（加里宁格勒现属俄罗斯。——译者注）。柯尼斯堡的七座桥今天 看来怎么样了？人们仍然在企图找出不可能的路线吗？首先，让我们把柯尼斯堡桥问题扼要 重述如下——若干世纪以来，柯尼斯堡桥问题提供了丰富的乐趣和数学兴味。问题远溯至 18 世纪初。 背景是位于普雷盖尔河岸的柯尼斯堡城。河中的两个岛是城的部分柯尼斯，由七座桥与城连接。柯 尼斯堡的居民中有一个欢乐的传统：星期天沿着城市的河岸和岛屿散步，同时试图找到一条 路线，可以经过所有七座桥，但不重复经过任一座桥。虽然当时大多数人都把这当做有趣的 娱乐，但是一位数学家发现这娱乐可以导向一个另外的契机，他抓住了这个契机并加以发展。 瑞士数学家伦哈德·欧拉（1707～1783）在圣彼得堡为俄国凯瑟琳大帝服务时就知道了柯尼 斯堡桥问题。1735 年，欧拉向俄国科学院提交了一篇论文，它不是简单地解答了桥问题，而是具有 更加深远的意义，对数学产生了更加巨大的影响。
他提出的新思想开辟了拓扑学的领域。拓 扑学与研究大小、形状和刚体的欧几里得几何不同，它是研究物体即使在大小和形状改变时 依然保持不变的那些特性的几何学。例如，如果三角形变形为正方形或圆，拓扑学研究这对 象的哪些特性保持不变。欧拉把柯尼斯堡桥问题的物理背景变换并简化为一种数学设计（称 做图或网络），这设计包含这个问题，并使它简化。对于城市与桥相通的每一部分，他用一 个顶点来代表，每一座桥则用一个弧来表示。他的结论是：经过所有七座桥而不复返的问题 相当于用铅笔不离纸面地描绘整个网络。欧拉把每个顶点定为奇顶点或偶顶点。他指出，偶 顶点是路程经过这顶点即进入这顶点又离开这顶点或整个路程从这点开始又到这点结束而 造成的。另一方面，奇顶点则是以这顶点成为路程的起点或终点而造成的。因此，任何可一 笔画成（没有复返）的图最多只能有 2 个奇顶点——要末没有奇顶点，顶点都是偶顶点；要 末有 2 个奇顶点，如果一个是起点，一个是终点。此外，他还断定，如果这图有偶数个奇顶 点，譬如说 10 个，那末在描绘整个图时，笔离开纸面的次数一定是奇顶点个数的一半，即15 次。欧拉在他的论述中指出，柯尼斯堡桥问题似乎具有几何性质，但是看来欧几里得几何 并不适用，因为桥问题不涉及“大小”，也不能用“量化计算”来解决。
相反地，这问题属 于“位置几何”，这是戈特弗里德·威廉·冯·莱布尼兹描述拓扑学时首先用的名称。由此 可知，欧拉对柯尼斯堡桥问题的解答成了拓扑学领域的催化剂和导引。如图所示，七座桥各有专名，大概与桥的那边是什么有关。今天只剩下了原有七座桥 中的三座——蜜桥、高桥和木桥。一条新的跨河大桥已经建成，它与两岸的连接如图所示，它完全跨过了内福夫岛。导游们时常讲述柯尼斯堡桥问题的故事。有些导游甚至声称它仍未 解决。如果画出新柯尼斯堡桥的网络柯尼斯，这新问题是没有吸引力的。如果新桥接触到岛的地面， 网络将比较有趣些。不幸的是，七座柯尼斯堡桥成了历史，但是这问题留下的遗产不像这些 桥那样容易破坏。欧拉的出色的解答仍然是拓扑学发展史上的一个重要部分。志谢：特别感谢阿尔特·库利提供最新资料和照片，并感谢罗德·克里坦登引起我对 这些资料的注意。2

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李茂

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